Eine sequentielle Charakteristik der Kompaktheit eines Operators aus 
ist die
folgende:
Für jede beschränkte Folge 
aus 
enthält die Folge
eine konvergente Teilfolge.
Eine Linearkombination kompakter Operatoren ist wieder kompakt.
Ist einer der Operatoren 
kompakt, dann sind es auch die Operatoren 
und 
.
Falls 
ein BANACH-Raum ist, hat man die folgenden wichtigen Aussagen.
1. Konvergenz: Konvergiert eine Folge von kompakten Operatoren
im Raum 
,
dann ist der Grenzwert ebenfalls ein
kompakter Operator.
2. Satz von Schauder: Ist 
ein linearer stetiger Operator, dann sind
und 
gleichzeitig kompakt (oder nicht).
3. Spektraleigenschaften eines kompakten Operators
in einem
(unendlichdimensionalen) BANACH-Raum 
Die Null
gehört zum Spektrum.
Jeder von Null verschiedene Punkt des Spektrums 
ist ein Eigenwert mit
endlichdimensionalem Eigenraum
,
und für
liegen außerhalb des Kreises
stets nur endlich viele Eigenwerte von 
,
wobei
einzig die Null Häufungspunkt der Menge der Eigenwerte sein kann.
Ist 
kein Eigenwert von ,
dann ist 
im Falle seiner Existenz
unbeschränkt.
