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Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art

Die Lösung einer VOLTERRAschen Integralgleichung 2. Art kann mittels der NEUMANNschen Reihe dargestellt werden. Liegt die Gleichung
(11.67)

vor, so wird formal gesetzt
(11.68a)

Damit ist (11.67) identisch mit der FREDHOLMschen Integralgleichung
(11.68b)

wobei auch gelten kann. Die Lösung besitzt die Darstellung
(11.68c)

Die iterierten Kerne sind durch die folgenden Gleichungen definiert:
(11.68d)

und allgemein:
(11.68e)

Für die iterierten Kerne gilt ebenfalls für . Falls eine Lösung von (11.67) existiert, konvergiert die NEUMANNsche Reihe, im Gegensatz zum Fall einer FREDHOLMschen Integralgleichung, für beliebige Parameter stets gegen diese Lösung.

Beispiel

.

.
Ermittlung der Resolvente:
.
Die angegebene Reihe konvergiert bekanntlich für alle Parameter Man erhält
,
speziell für .