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Einfache Variationsaufgabe

Eine der einfachsten Aufgaben mit Funktion von mehreren Variablen stellt das folgende Variationsproblem für ein Doppelintegral dar:
(10.44)

Dabei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand des Bereiches gegebene Werte annehmen. Analog zum Abschnitt EULERsche Differentialgleichung werden Vergleichsfunktionen der Form
(10.45)

angesetzt, wobei eine Lösung der Variationsaufgabe (10.44) ist und die vorgegebenen Randwerte annimmt, während die Bedingung
(10.46)

erfüllt und wie entsprechend oft partiell differenzierbar ist.
Die Größe ist ein Parameter. Durch wird eine Fläche beschrieben, die der Lösungsfläche benachbart ist. Mit (10.45) geht in über, d.h., aus der Variationsaufgabe (10.44) wird eine Extremwertaufgabe, die die notwendige Bedingung
(10.47)

erfüllen muß. Daraus folgt die EULERsche Differentialgleichung
(10.48)

als notwendige Bedingung für die Lösung der Variationsaufgabe (10.44).

Beispiel

Eine unbelastete Membran, die am Rand eines Bereiches der -Ebene eingespannt ist, überdeckt eine Fläche mit dem Inhalt

(10.49a)

Wird die Membran durch eine Belastung so deformiert, daß jeder Punkt eine Auslenkung in -Richtung erfährt, dann wird ihr Flächeninhalt nach der Formel
(10.49b)

berechnet. Linearisiert man den Integranden in (10.49b) nach TAYLOR, dann erhält man die Beziehung
(10.49c)

Für die potentielle Energie der deformierten Membran gilt
(10.49d)

wobei die Konstante als Spannung der Membran bezeichnet wird. Auf diese Weise entsteht das sogenannte DIRICHLETsche Variationsproblem: Die Funktion ist so zu bestimmen, daß sie das Funktional
(10.49e)

zu einem Extremum macht und auf dem Rand des ebenen Gebietes verschwindet. Die zugehörige EULERsche Differentialgleichung lautet
(10.49f)

Es handelt sich um die LAPLACEsche Differentialgleichung für Funktionen von zwei Variablen.