Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung in vollständigen Differentialen
Gleichungen dieser Art haben die Gestalt
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(9.78a) |
wobei die 
gegebene Funktionen der Variablen
sind.
Man spricht von einer vollständig integrierbaren Differentialgleichung ,
wenn sich eine eindeutige Beziehung zwischen den
angeben
läßt, die einen frei wählbaren konstanten Faktor enthält, und die auf die
Gleichung (9.78a) führt.
Dann existiert eine eindeutige Lösung 
von
(9.78a), die für die Anfangswerte 
der unabhängigen Veränderlichen einen vorgegebenen Wert 
ergibt.
Daraus folgt für 
,
daß durch jeden Raumpunkt eine
und nur eine Integralfläche verläuft.
Vollständige Integrabilität gibt es für die Differentialgleichung
(9.78a) dann und nur dann, wenn die 
Beziehungen
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(9.78b) |
in allen Variablen
identisch erfüllt sind.
Wenn die Differentialgleichung in der symmetrischen Gestalt
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(9.78c) |
gegeben ist, dann lautet die Bedingung für die vollständige Integrabilität für
alle Kombinationen der Indizes 
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(9.78d) |
Liegt vollständige Integrabilität vor, dann kann die Auflösung der
Differentialgleichung (9.78a) auf die Integration einer
gewöhnlichen Differentialgleichung mit 
Parametern zurückgeführt werden.
