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Methode der sukzessivem Approximation nach Picard

Die Integration der Differentialgleichung
(9.20a)

mit der Anfangsbedingung für liefert
(9.20b)

Wird in die rechte Seite dieser Gleichung (9.20b) anstelle von eine angemessen ausgewählte Funktion eingesetzt, dann ergibt sich eine neue Funktion , die sich von unterscheidet, wenn nicht bereits eine Lösung von (9.20a) ist. Nach Einsetzen von in die rechte Seite von (9.20b) anstelle von erhält man eine Funktion . Die durch Fortsetzen des Verfahrens gewonnene Funktionenfolge konvergiert gegen die gesuchte Lösung in einem gewissen, den Punkt enthaltenden Intervall, wenn die Bedingungen des Existenzsatzes erfüllt sind. Diese PICARDsche Methode der sukzessiven ( schrittweisen ) Approximation ist ein Iterationsverfahren.

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung für die Anfangsbedingung für zu lösen. Umschreibung in die Integralform und Anwendung der sukzessiven Approximation, beginnend mit liefert:
usw.