• Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
• Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite

Singuläre Punkte einer Differentialgleichung

(9.18a)

nicht definiert ist. Diese Situation tritt z.B. in Differentialgleichungen der folgenden Formen auf:

Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite

(9.18b)

besitzt im Punkt einen isolierten singulären Punkt , da die Bedingungen des Existenzsatzes lediglich in jedem beliebig nahe an gelegenen Punkt gelten, nicht aber in diesem selbst. Streng genommen sind die genannten Bedingungen in diesem Falle für alle Punkte nicht erfüllt, für die ist. Die Erfüllung der Bedingungen kann dadurch erzwungen werden, daß die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen vertauscht und die Gleichung

(9.18c)

betrachtet wird.
Das Verhalten der Integralkurven in der Nähe des singulären Punktes hängt von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung

(9.18d)

ab. Dabei können die folgenden Fälle unterschieden werden:
Fall 1: Wenn die Wurzeln reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen, dann ist der singuläre Punkt ein Knotenpunkt . In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Integralkurven durch ihn hindurch und verfügen hier, sofern die Wurzeln nicht zusammenfallen, mit Ausnahme einer Integralkurve über eine gemeinsame Tangente. Im Falle einer Doppelwurzel haben entweder alle Integralkurven eine gemeinsame Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige Kurve.

Beispiel A
	Für die Differentialgleichung lautet die charakteristische Gleichung . Die Integralkurven gehorchen der Gleichung (s. Abbildung). Die Gerade ist in der allgemeinen Lösung ebenfalls enthalten, was aus der Form hervorgeht.

Beispiel B
	Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind (s. Abbildung). Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Knotenpunkt .

Beispiel C
	Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind (s. Abbildung). Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Strahlpunkt .

Fall 2: Wenn die Wurzeln reell sind und verschiedene Vorzeichen besitzen, ist der singuläre Punkt ein Sattelpunkt , durch den zwei Integralkurven verlaufen.

Beispiel D
	Die charakteristische Gleichung für lautet . Integralkurven sind (s. Abbildung). Für gibt es die partikulären Integrale .

Fall 3: Wenn die Wurzeln konjugiert komplex sind mit , dann ist der singuläre Punkt ein Strudelpunkt , auf den sich die Integralkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.

Beispiel E
	Die charakteristische Gleichung für ist . Integralkurven in Polarkoordinaten sind (s. Abbildung).

Fall 4: Wenn die Wurzeln rein imaginär sind, dann ist der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt , der von der Schar geschlossener Integralkurven eingeschlossen wird.

Beispiel F
	Die charakteristische Gleichung für ist . Integralkurven sind (s. Abbildung).

Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite

(9.19a)

(9.19b)

gilt. Wenn und stetige Funktionen sind, die stetige partielle Ableitungen besitzen, dann kann (9.19a) in der Form

(9.19c)

dargestellt werden. Dabei sind und die Koordinaten des singulären Punktes, und die Werte von sowie müssen infinitesimal von höherer Ordnung im Vergleich zum Abstand des Punktes vom singulären Punkt sein. Unter diesen Voraussetzungen ist die Art der singulären Punkte der gegebenen Differentialgleichung die gleiche wie für den singulären Punkt der Näherungsgleichung , die durch Weglassen von und entsteht. Dazu gibt es die folgenden Ausnahmen:
a) Wenn der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt ist, dann ist der singuläre Punkt der Ausgangsgleichung entweder ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt;
b) wenn , d.h. oder bzw. ist, dann müssen, damit die Art des singulären Punktes bestimmt werden kann, Glieder höherer Ordnung in die Betrachtung einbezogen werden.