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Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen

Irrationale Funktionen können nicht immer elementar integriert werden. Die Tabelle enthält eine ganze Reihe von Integralen irrationaler Funktionen. In den einfachsten Fällen lassen sie sich durch Substitutionen, wie sie in der folgenden Tabelle aufgeführt sind, auf Integrale rationaler Funktionen zurückführen.

Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I
Integral Substitution
,
  wobei das kleinste gemeinsame Vielfache
der Zahlen ist.
Eine der drei EULERschen Substitutionen :
1. Für
2. Für
3. Falls das Polynom ver-  
schiedene reelle Wurzeln besitzt:  
*1) Das Symbol bezeichnet eine rationale Funktion in den Ausdrücken, vor denen
es steht. Die Zahlen sind ganz.
*2) Ist und hat das Polynom komplexe Wurzeln, so ist der Inte
grand für keinen Wert von definiert, da dann für alle reellen Werte
von imaginär wird. In diesem Falle ist ein Integrieren nicht von Interesse.

Das Integral kann auch auf eine der drei Formen

(8.17a)

(8.17b)

(8.17c)

gebracht werden, da sich das quadratische Polynom stets als Summe oder Differenz zweier Quadrate darstellen läßt.

Beispiel A

mit .

Beispiel B

mit .

Beispiel C

mit .

Die Integrale (8.17a) bis (8.17c) können dann mit Hilfe der in der folgenden Tabelle angegebenen Substitutionen behandelt werden. Sie führen auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische Funktionen oder Hyperbelfunktionen enthalten.

Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II
Integral
Substitution
oder
oder
oder