Definition des Oberflächenintegrals 1. Art
Oberflächenintegral 1. Art einer Funktion von drei Veränderlichen
,
die in einem zusammenhängenden Gebiet definiert sein muß, nennt
man das Integral
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(8.148) |
das über ein im allgemeinen gekrümmtes Flächenstück 
in dem genannten Gebiet
genommen wird.
Der Zahlenwert des Oberflächenintegrals 1. Art wird auf die folgende Weise ermittelt
(s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
in 
Elementarflächenstücke.
2. Auswahl eines beliebigen Punktes 
im Innern oder auf dem
Rande eines jeden Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von 
in diesem Punkt mit
dem Inhalt von 
des entsprechenden Elementarflächenstückes.
4. Addition aller so gewonnenen Produkte 
.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
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(8.149a) |
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke
gegen
Null geht, also ihre Anzahl
gegen 
.
Dabei ist wieder zu beachten, daß der
Durchmesser des Elementarflächenstückes gegen Null geht und nicht nur
eine Ausdehnung.
Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes
in Elementarflächenstücke sowie von der Wahl der Punkte 
unabhängig ist, dann wird er Oberflächenintegral 1. Art der Funktion 
über dem Flächenstück
genannt, und man schreibt
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(8.149b) |
