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über einem
ebenen Flächenstück 
wird der Ausdruck
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(8.134) |
bezeichnet.
Es handelt sich dabei um einen Zahlenwert, der auf die folgende Weise ermittelt wird
(s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
in 
Elementarflächenstücke.
2. Auswahl eines beliebigen Punktes 
im Innern oder auf dem
Rande eines jeden Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von 
in diesem Punkt mit
dem Inhalt 
des entsprechenden Elementarflächenstückes.
4. Addition aller so gewonnenen Produkte 
.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
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(8.135a) |
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke
gegen Null geht, also ihre Anzahl
gegen 
.
Dabei ist zu beachten, daß die Forderung,
solle gegen Null streben,
allein nicht genügt.
Es muß sichergestellt sein, daß auch der Abstand der beiden am weitesten
voneinander entfernten Punkte, d.h. der Durchmesser des
Elementarflächenstückes , gegen Null geht, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks
auch zu Null wird, wenn eine seiner Seiten Null gesetzt wird, der Durchmesser aber
endlich bleibt.
in Elementarflächenstücke sowie von der Wahl der Punkte
unabhängig
ist, dann wird er Doppelintegral der Funktion
über dem Flächenstück
,
das Integrationsgebiet, genannt, und man schreibt:
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