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Asymptotische Potenzreihen


1. Begriff der asymptotischen Potenzreihe: Eine Reihe heißt asymptotische Potenzreihe der Funktion , die für definiert ist, wenn
(7.92)

für jedes gilt. Dabei wird in das LANDAU-Symbol ,,groß O`` verwendet. Für (7.92) schreibt man auch .
2. Eigenschaften asymptotischer Potenzreihen:
a) Eindeutigkeit: Existiert für eine Funktion die asymptotische Potenzreihe, dann ist sie eindeutig, aber durch eine asymptotische Potenzreihe ist eine Funktion nicht eindeutig bestimmt.
b) Konvergenz: Von einer asymptotischen Potenzreihe muß keine Konvergenz gefordert werden.

Beispiel A

ist eine asymptotische Reihe, die für alle mit konvergiert.

Beispiel B

Wiederholte partielle Integration ergibt für das Parameterintegral , das für konvergiert, die Darstellung mit . Wegen gilt und damit

(7.93)

Die asymptotische Potenzreihe (7.93) ist divergent für alle , da der Betrag des Quotienten aus dem -ten und dem -ten Glied den Wert hat. Trotzdem ist diese divergente Reihe zur Funktionswertberechnung von gut geeignet. So erhält man z.B. für mit Hilfe der Partialsummen und die Abschätzung .