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Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion


1. Ermittlung der Extrempunkte: Da diese die notwendige Bedingung erfüllen, werden nach der Berechnung der Ableitung alle reellen Wurzeln der Gleichung bestimmt und jede von ihnen, z.B. mit einer der folgenden Methoden untersucht.
2. Methode des Vorzeichenvergleichs: Für je einen Wert bzw. , der etwas kleiner bzw. etwas größer als ist, wird das Vorzeichen der Ableitung festgestellt, wobei zwischen und bzw. keine weiteren Nullstellen von liegen dürfen. Wenn beim Übergang von zu das Vorzeichen von von ,,``  nach ,,``  wechselt, dann befindet sich bei ein relatives Maximum der Funktion (linke Abbildung); wechselt es umgekehrt von ,,``  nach ,,``, dann liegt ein relatives Minimum vor (rechte Abbildung).



Gibt es keinen Vorzeichenwechsel der Ableitung (folgende linke und rechte Abbildung), dann besitzt die Kurve bei kein Extremum, sondern einen Wendepunkt mit einer zur -Achse parallelen Tangente.



3. Methode der höheren Ableitungen: Besitzt die Funktion an der Stelle höhere Ableitungen, dann wird jede Wurzel in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist dann gibt es an der Stelle ein relatives Maximum, ist ein relatives Minimum, ist dann wird in die dritte Ableitung eingesetzt. Ergibt sich dabei dann gibt es bei kein Extremum, sondern einen Wendepunkt . Erhält man dann ist in die vierte Ableitung einzusetzen usw.
4. Bedingungen für Extremwerte und Wendepunkte: Ist die Ordnung der Ableitung, die an der Stelle erstmalig nicht verschwindet, gerade, dann besitzt dort ein relatives Extremum: für einen negativen Wert ein relatives Maximum, für einen positiven ein relatives Minimum. Ist die Ordnung dieser Ableitung ungerade, dann besitzt die Funktion an dieser Stelle keinen Extremwert, sondern einen Wendepunkt .
Die Methode des Vorzeichenvergleichs kann auch bei nichtexistierender Ableitung wie in den drei folgenden Abbildungen eingesetzt werden.