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Homomorphismen und Isomorphismen

Zwischen algebraischen Strukturen werden nicht beliebige, sondern ,,strukturerhaltende`` Abbildungen betrachtet:
1. Gruppenhomomorphismus: Es seien und Gruppen. Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus , wenn für alle gilt:
(5.102)

Als Beispiel sei der Multiplikationssatz für Determinanten erwähnt:
(5.103)

Dabei ist auf der linken Seite der Gleichung die Multiplikation reeller Zahlen (ungleich Null) und auf der rechten Seite die Multiplikation von regulären Matrizen gemeint.
2. Kern: Ist ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge aller Elemente von die auf das neutrale Element von abgebildet werden, Kern von genannt. Der Kern von erweist sich als Normalteiler von .

3. Gruppenisomorphismus Ist ein Gruppenhomomorphismus darüber hinaus bijektiv, so heißt Gruppenisomorphismus , und die Gruppen und heißen zueinander isomorph (Bezeichnung: ). Es gilt: ker
Isomorphe Gruppen sind von gleicher Struktur, d.h., sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe und die Diedergruppe sind zueinander isomorphe Gruppen der Ordnung 6 und beschreiben die Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks.