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Untergruppen

Es sei eine Gruppe und Ist bezüglich wieder eine Gruppe, so heißt eine Untergruppe von
Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann Untergruppe von wenn für alle auch und in liegen (Untergruppenkriterium ).

1. Zyklische Untergruppen Die Gruppe selbst und sind Untergruppen von die trivialen Untergruppen . Außerdem bestimmt jedes Element eine Untergruppe, die von erzeugte zyklische Untergruppe
(5.98)

Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen als Abkürzung für die -fache Verknüpfung von mit sich selbst ganzzahlige Vielfache als Abkürzung für die -fache Addition von mit sich selbst, d.h.
(5.99)

Dabei ist die kleinste Untergruppe von die enthält. Gilt für ein Element aus so heißt eine zyklische Gruppe .
Es gibt unendliche zyklische Gruppen, wie bezüglich der Addition, und endliche zyklische Gruppen, wie die Restklassenaddition in der Menge der Restklassen modulo .

Beispiel

Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe eine Primzahl, so ist stets zyklisch.


2. Verallgemeinerung Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern: Ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe so wird mit die Untergruppe von bezeichnet, deren Elemente sich sämtlich als Produkt von endlich vielen Elementen aus und deren Inversen schreiben lassen. Die Teilmenge heißt dann Erzeugendensystem von Besteht nur aus einem Element, dann ist zyklisch.
3. Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen In der Gruppentheorie wird die Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord bezeichnet. Ist die von einem Element einer Gruppe erzeugte zyklische Untergruppe endlich, so heißt deren Ordnung auch Ordnung des Elements a , d.h.
Ist eine Untergruppe einer Gruppe und so heißen die Teilmengen

(5.100)

von Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von in Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden jeweils eine Zerlegung von .
Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe in einer Gruppe haben die gleiche Anzahl von Elementen, nämlich ord . Daraus ergibt sich, daß die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen ist. Diese Zahl wird Index von in genannt. Aus den genannten Fakten ergibt sich der Satz von LAGRANGE (s. nächten Abschnitt).
4. Satz von Lagrange Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen ist der Satz von LAGRANGE als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich.