Körpererweiterungen

Körpererweiterungen

Es seien

und

Körper. Gilt

, so heißt

Körpererweiterung über

Beispiel A

Die Zahlenbereiche und sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe mit Einselement; und sind sogar Körper.
Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring ohne Einselement.
Die Menge ist der Erweiterungskörper von .

Beispiel B

Die Menge aller Matrizen vom Typ über den reellen Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement.

Beispiel C

Die Menge der reellen Polynome bildet bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring Allgemeiner kann man anstelle des Polynomringes über auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen mit Einselement betrachten.

Beispiel D

Beispiele für endliche Ringe sind die Restklassenringe besteht aus allen Klassen von ganzen Zahlen, die bei der Division durch den gleichen Rest lassen. Mit wird die durch die ganze Zahl bestimmte Äquivalenzklasse bezüglich der Relation bezeichnet. Dabei sind durch

(5.203)

Ringoperationen auf erklärt. Ist die natürliche Zahl eine Primzahl, so wird sogar ein Körper.

Beispiel A
	Die Zahlenbereiche und sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe mit Einselement; und sind sogar Körper. Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring ohne Einselement. Die Menge ist der Erweiterungskörper von .

Beispiel B
	Die Menge aller Matrizen vom Typ über den reellen Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement.

Beispiel C
	Die Menge der reellen Polynome bildet bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring Allgemeiner kann man anstelle des Polynomringes über auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen mit Einselement betrachten.