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Lösungsverhalten

Aus der im Ergebnis der GAUSS-Schritte erhaltenen Matrix (4.116) liest man für das zu lösende inhomogene lineare Gleichungssystem ab:
1. Fall: Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen von Null verschieden ist.
2. Fall: Das System ist lösbar, wenn gilt
Weiterhin ist zu unterscheiden:
a) Die Lösung ist eindeutig.
b) Die Lösung ist nicht eindeutig; Unbekannte sind als Parameter frei wählbar.
Im Falle der Lösbarkeit werden die Unbekannten sukzessiv, mit der letzten Gleichung beginnend, aus dem gestaffelten Gleichungssystem, das zu (4.116) gehört, bestimmt.

Beispiel A


Nach drei GAUSS-Schritten
hat die erweiterte Koeffizi-
entenmatrix die Form

Die Lösung ist eindeutig, und aus dem zugehörigen gestaffelten linearen Gleichungssystem folgt .

Beispiel B


Nach zwei GAUSS-Schritten hat
die erweiterte Koeffizientenmatrix
die Form

Eine Lösung existiert, aber sie ist nicht eindeutig. Man kann eine Unbekannte als freien Parameter wählen, z.B. und erhält: