Differential des Bogens

Eine Fläche sei in der expliziten Form

(3.509) oder in der Vektorform

bzw.

(3.510) gegeben. Auf der Fläche seien

ein beliebiger Punkt und

ein in der Nähe von

liegender zweiter Punkt. Die Länge des Bogens

auf der Fläche läßt sich dann angenähert durch das Differential des Bogens oder das Linienelement der Fläche mit der Formel

(3.521a)

berechnen, wobei die drei Koeffizienten


			(3.521b)

für den Punkt

zu bilden sind. Die rechte Seite der ersten Formel (3.521a) wird erste quadratische Fundamentalform der Fläche genannt.

Beispiel A

Für die Kugel gemäß (3.513) ergibt sich:

(3.522)

Beispiel B

Für eine explizit durch (3.508) gegebene Fläche ergibt sich:

(3.523)