Messungen auf der Raumfläche
1. Länge des Bogens:
Die Länge einer Kurve 
auf der Fläche wird für
über
 |
(3.524) |
berechnet.
2. Winkel zwischen zwei Kurven:
Der Winkel zwischen zwei Kurven
und 
auf der Fläche 
,
d.h. zwischen ihren Tangenten,
die sich im Punkt 
schneiden und in diesem Punkt die durch die Vektoren
und 
vorgegebene Richtung haben, wird mit
der Formel
berechnet.
Die Koeffizienten 
und 
sind für den Punkt
zu
bestimmen, und
,
,
,
stellen die ersten
Ableitungen von 
,
,
und 
für den, dem
Punkt
entsprechenden Parameterwert dar.
Wenn der Zähler von (3.525) verschwindet stehen beide Kurven
senkrecht aufeinander.
Die Orthogonalitätsbedingung für die Koordinatenlinien 
und
lautet 
3. Flächeninhalt eines Flächenstückes:
Der Flächeninhalt eines Flächenstückes 
das von einer beliebigen, auf der
Fläche liegenden Kurve begrenzt wird, kann über das Doppelintegral
 |
(3.526a) |
mit
 |
(3.526b) |
berechnet werden.
Man nennt 
Flächenelement .
Die Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten auf Flächen ist mit Hilfe
der Formeln (3.524, 3.525, 3.526a,b) möglich, wenn die
Koeffizienten
und
der ersten quadratischen Fundamentalform bekannt sind.
Somit definiert die erste quadratische Fundamentalform
die Metrik auf der Fläche .
