Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie

Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie

Krümmung einer Kurve im Punkt

wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes von einer Geraden angibt. Die exakte Definition lautet:

(3.494)

1. Krümmungskreisradius Der Krümmungskreisradius ist der Kehrwert der Krümmung:

(3.495)

2. Formeln zur Berechnung von K und
a) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß (3.488a):

(3.496)

wobei es sich um Ableitungen nach

handelt.
b) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von

gemäß

(3.487):


			(3.497)

Die Ableitungen sind hier nach

vorzunehmen.

3. SchraubenlinieDie Gleichungen

(3.498)

beschreiben die sogenannte Schraubenlinie als Rechtsschraube .

Wenn ein Beobachter in die positive Richtung der

-Achse blickt, die gleichzeitig Schraubenachse sein soll, dann windet sich die Schraube beim Steigen im Drehsinn des Uhrzeigers. Eine Schraubenlinie, die sich im entgegengesetzten Drehsinn windet, wird Linksschraube genannt.

Beispiel

Es ist die Krümmung der Schraubenlinie (3.498) zu bestimmen. Wird der Parameter durch ersetzt, dann ergibt sich und gemäß (3.496) Beide Größen und sind konstant.
Ein anderer Weg ohne Parametertransformation über (3.497) hätte zu dem gleichen Ergebnis geführt.

Beispiel
	Es ist die Krümmung der Schraubenlinie (3.498) zu bestimmen. Wird der Parameter durch ersetzt, dann ergibt sich und gemäß (3.496) Beide Größen und sind konstant. Ein anderer Weg ohne Parametertransformation über (3.497) hätte zu dem gleichen Ergebnis geführt.