Prinzip des Gaußschen Eliminationsverfahrens

Prinzip des Gaußschen Eliminationsverfahrens

Durch die elementaren Umformungen
1. Vertauschen von Zeilen
2. Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
wird das System

(19.26) in ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem

(19.27)

überführt. Da dabei nur äquivalente Umformungen vorgenommen werden, besitzt

dieselbe Lösung wie

. Man erhält sie aus (19.27):

(19.28)

Die durch die Formel (19.28) angegebene Vorschrift nennt man Rückwärtseinsetzen , da die Gleichungen von (19.27) in der umgekehrten Reihenfolge ihrer Entstehung benutzt werden.

Der Übergang von zu erfolgt in sogenannten Eliminationsschritten , deren Durchführung am ersten Schritt gezeigt werden soll. Dieser überführt die Matrix in die Matrix :

(19.29)

Dabei ist wie folgt vorzugehen:
1. Man bestimme ein

. Falls kein solches existiert, stop:

ist singulär. Andernfalls heißt

Pivot .
2. Man vertausche die 1. und die

-te Zeile von

. Das Ergebnis ist die Matrix

.
3. Man subtrahiere für

das

-fache der 1. Zeile von der

-ten Zeile der Matrix

.
Als Ergebnis erhält man die Matrix

und analog die neue rechte Seite

mit folgenden Elementen:


			(19.30)

Die in der Matrix (19.29) eingerahmte Teilmatrix ist vom Typ und wird analog zu behandelt; usw. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als GAUSSsches Eliminationsverfahren oder GAUSSschen Algorithmus.