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Definition der kubischen Interpolationssplines

Es seien Interpolationspunkte gegeben. Der kubische Interpolationsspline ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:
1. erfüllt die Interpolationsbedingung .
2. ist in jedem Teilintervall ein Polynom vom Grad .
3. ist 2mal stetig differenzierbar im gesamten Approximationsintervall .
4. erfüllt spezielle Randbedingungen:
a) (man spricht dann von natürlichen Splines ) oder
b) sind gegebene Werte) oder
c) , falls , und sowie (man spricht dann von periodischen Splines ).

Aus diesen Eigenschaften folgt, daß unter allen 2mal stetig differenzierbaren Funktionen , die die Interpolationsbedingung erfüllen, dadurch ausgezeichnet ist, daß
(19.230)

gilt ( Satz von HOLLADAY ). Man sagt auf Grund von (19.230), hat minimale Gesamtkrümmung , da für die Krümmung einer ebenen Kurve in erster Näherung gilt (s. Abschnitt Krümmung und Krümmungskreis). Darüber hinaus läßt sich zeigen: Legt man durch die Punkte ein dünnes, elastisches Lineal (engl. Spline), so wird seine Biegelinie durch den kubischen Interpolationsspline beschrieben.