Kapazitätsdimension

Kapazitätsdimension

Sei

eine kompakte Menge des metrischen Raumes

und sei

die minimale Anzahl von Mengen vom Durchmesser

, die nötig ist, um

zu überdecken. Die Größe

(17.41a)

heißt obere Kapazitätsdimension , die Größe

(17.41b)

heißt untere Kapazitätsdimension von

. Gilt

, so heißt

Kapazitätsdimension von

. Im

kann die Kapazitätsdimension auch für beschränkte Mengen betrachtet werden, die nicht abgeschlossen sind.

Für eine beschränkte Menge kann in den obigen Definitionen die Zahl auch folgendermaßen definiert werden: Der wird mit einem Gitter aus -dimensionalen Würfeln der Seitenlänge überdeckt. Dann kann für die Anzahl der Würfel des Gitters, die schneiden, genommen werden.
Wichtige Eigenschaften der Kapazitätsdimension:
(KD1) Es gilt immer .
(KD2) Für -dimensionale Flächen ist .
(KD3) Mit der Abschließung von gilt , während oft ist.
(KD4) Ist so gilt für die Kapazitätsdimension im allgemeinen nicht .

Beispiel

Sei . Dann gilt und .
Ist die Menge aller rationalen Punkte in , so gilt wegen (KD2) und (KD3) . Andererseits ist .

Beispiel
	Sei . Dann gilt und . Ist die Menge aller rationalen Punkte in , so gilt wegen (KD2) und (KD3) . Andererseits ist .