|
|
|
|
mit einer Überdeckung aus einer
endlichen Anzahl Kugeln 
mit Radius 
versehen, so daß
also 
gilt, erhält man für 
das
,,Rohvolumen`` 
.
Bildet man nun über alle endlichen Überdeckungen von
durch Kugeln mit Radius
die Größe
und läßt
gegen Null gehen, so ergibt sich das äußere LEBESGUE-Maß
von 
,
das für meßbare Mengen mit dem Volumen vol
übereinstimmt.
Es seien 
der EUKLIDische Raum 
oder, allgemeiner, ein separabler
metrischer Raum mit Metrik 
und 
eine Teilmenge.
Für beliebige Parameter 
und 
wird die Größe
 |
(17.40a) |
beliebige Teilmengen mit Durchmesser
diam
sind.
Das äußere HAUSDORFF- Maß zur Dimension d von A wird durch
 |
(17.40b) |
der Menge
ist dann der (einzige)
kritische Wert des HAUSDORFF-Maßes:
 |
(17.40c) |
Bemerkung: Die Größen 
können auch mit Hilfe von
Überdeckungen aus Kugeln vom Radius
oder, im Falle des
,
aus Würfeln der Kantenlänge 
gebildet werden.
Wichtige Eigenschaften der Hausdorff-Dimension:
(HD1) 
.
(HD2) Ist 
,
so gilt 
.
(HD3) Aus 
folgt 
.
(HD4) Ist 
,
so gilt 
.
(HD5) Ist
endlich oder abzählbar, so ist 
.
(HD6) Ist 
LIPSCHITZ-stetig (d.h. existiert
eine Konstante 
mit
,
so gilt 
.
Existiert die inverse Abbildung 
und ist diese ebenfalls
LIPSCHITZ-stetig, so ist sogar 
.
| Beispiel | |
|
Für die Menge | |
|
|
aller rationalen Zahlen gilt wegen (HD5) 
.
Für die CANTOR-Menge 
ist
