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ein dynamisches System auf der 
-dimensionalen kompakten
orientierbaren Mannigfaltigkeit 
.
Der Punkt 
heißt nichtwandernd bezüglich 
,
wenn für eine beliebige Umgebung 
von 
gilt:
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(17.27) |
| Beispiel | |
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Ruhelagen und periodische Orbits bestehen nur aus nichtwandernden Punkten.
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Die Menge 
aller nichtwandernden Punkte des von (17.1)
erzeugten dynamischen Systems ist abgeschlossen, invariant unter 
und
enthält alle periodischen Orbits und alle 
-Grenzmengen von Punkten aus .
Das dynamische System
auf ,
erzeugt durch ein glattes
Vektorfeld, heißt MORSE-SMALE-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt
sind:
1. Das System hat endlich viele Ruhelagen und periodische Orbits und alle sind
hyperbolisch.
2. Alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen bzw. periodischen
Orbits sind transversal zueinander.
3. Die Menge aller nichtwanderenden Punkte besteht nur aus Ruhelagen und
periodischen Orbits.
Satz von Palis und Smale:
MORSE-SMALE-Systeme sind strukturstabil.
Die Umkehrung des Satzes von PALIS und SMALE gilt nicht:
Es existieren für 
strukturstabile Systeme mit unendlich vielen periodischen
Orbits.
Für
sind strukturstabile Systeme nicht typisch.
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