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,
heißt strukturstabil (oder
robust ), wenn bei kleinen Störungen von 
topologisch äquivalente
Differentialgleichungen entstehen.
Die präzise Definition der Strukturstabilität erfordert einen Abstandsbegriff zwischen
zwei Vektorfeldern auf 
.
Wir beschränken uns auf die Betrachtung solcher glatter Vektorfelder auf ,
die
alle eine feste offene, beschränkte und zusammenhängende Menge 
als
absorbierende Menge besitzen.
Der Rand 
von 
sei eine glatte 
-dimensionale Hyperfläche und sei
darstellbar als 
,
wobei
eine 
-Funktion mit 
in einer
Umgebung von
ist.
Sei 
der metrische Raum aller glatten Vektorfelder auf ,
versehen mit der
- Metrik
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(17.25) |
(Im ersten Term der rechten Seite bedeutet 
die EUKLIDische Vektornorm,
im zweiten die Operatornorm.)
Diejenigen glatten Vektorfelder 
,
die transversal den Rand
in Richtung
schneiden, d.h., für die 
und
gilt, bilden die Menge
.
Das Vektorfeld 
heißt strukturstabil , wenn es ein
gibt, so daß jedes andere Vektorfeld 
mit
topologisch äquivalent zu
ist.
| Beispiel | |
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Betrachtet wird die ebene Differentialgleichung | |
,
wobei 
sei.
Die Differentialgleichung 
gehört z.B. zu 
mit
(s. linke Abbildung).
Offenbar gilt 
.
Das Vektorfeld 
ist strukturell instabil, da beliebig nahe von
Vektorfelder existieren, die topologisch nicht äquivalent zu
sind
(s. mittlere und rechte Abbildung).
von (17.26) übergeht.
Für 
existiert immer der stabile Grenzzyklus 
.
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