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Attraktor, Einzugsgebiet

Sei ein dynamisches System auf und eine unter invariante Menge. Dann heißt Einzugsgebiet von .

Eine kompakte Menge heißt Attraktor von auf , wenn invariant unter ist und es eine offene Umgebung von gibt, so daß für fast alle (im Sinne des LEBESGUE-Maßes) gilt.

Beispiel

ist ein Attraktor des Flusses von (17.9a). Dabei ist .

Für manche dynamischen Systeme ist ein allgemeinerer Attraktorbegriff sinnvoll. So gibt es invariante Mengen , die in jeder Umgebung periodische Orbits besitzen, die nicht von angezogen werden (z.B. der FEIGENBAUM-Attraktor). Die Menge muß auch nicht unbedingt durch eine einzige -Grenzmenge aufgespannt werden.

Eine kompakte Menge heißt Attraktor im Sinne von MILNOR von auf , wenn invariant unter ist und das Einzugsgebiet von eine Menge mit positivem LEBESGUE-Maß enthält.