Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
Es sei 
eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern
und 
.
Gemäß Abschnitt Verteilung der Stichprobenmittelwerte ist
dann 
ebenfalls eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt
mit den Parametern
und 
.
Durch die Substitution
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(16.136) |
erhält man eine Zufallsgröße 
,
die der normierten Normalverteilung
genügt.
Für diese gilt
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(16.137) |
Gibt man jetzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit 
vor und verlangt
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(16.138) |
dann kann man 
aus (16.137)
numerisch bestimmen bzw. aus der Tabelle Normierte Normalverteilung
ablesen und erhält aus 
unter Beachtung von
(16.136) die Beziehung
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(16.139) |
Die Werte 
in
(16.139) heißen
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
der Grundgesamtheit bei bekannter
Streuung 
und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit 
.
Man kann auch sagen:
Der Mittelwert
liegt mit der statistischen Sicherheit 
zwischen den
Vertrauensgrenzen (16.139).
Hinweis: Ist der Stichprobenumfang hinreichend groß 
,
dann kann
in (16.139) an Stelle der in der Regel unbekannten Streuung
der Grundgesamtheit die Stichprobenstreuung 
verwendet werden.
Anderenfalls müssen die Vertrauensgrenzen mit Hilfe der 
-Verteilung gemäß
(16.142) ermittelt werden.
