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Poisson-Prozeß

Bei den stochastischen Ketten sind sowohl der Zustandsraum als auch der Parameterraum diskret, d.h., der stochastische Prozeß wurde nur zu den diskreten Zeitpunkten betrachtet. Beim POISSON-Prozeß wird dagegen ein stetiger Parameterraum vorausgesetzt.
1. Mathematische Formulierung Zur mathematischen Formulierung des POISSON-Prozesses wird festgelegt:
1. Die Zufallsgröße sei die Anzahl der Signale im Zeitintervall [0,t);
2. die Wahrscheinlichkeit sei die Wahrscheinlichkeit für Signale im Zeitintervall .
Darüber hinaus werden folgende Voraussetzungen gefordert, die vom radioaktiven Zerfall und von vielen anderen zufällig ablaufenden Prozessen (zumindest annähernd) erfüllt werden:
3. Die Wahrscheinlichkeit für Signale in einem Zeitintervall der Länge hängt nur von und ab, aber nicht von der Länge des Zeitintervalls auf der Zeitachse.
4. Die Anzahl der Signale in disjunkten Zeitintervallen sind unabhängige Zufallsgrößen.
5. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als ein Signal in einem kleinen Zeitintervall der Länge ist proportional zu dieser Länge. Der Proportionalitätsfaktor werde mit bezeichnet.

2. Verteilungsfunktion Durch die voranstehenden Eigenschaften 3. bis 5. ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße bestimmt. Man erhält:
(16.119a)

(16.119b)


3. Bemerkungen
1. Für ergibt sich aus (16.119a) als Spezialfall die POISSON-Verteilung.

2. Zur Interpretation des Parameters und eventuell zu seiner genäherten Bestimmung aus beobachteten Daten sind die folgenden Zusammenhänge nützlich:
3. Der POISSON-Prozeß kann als zufällige Bewegung (Irrfahrt) eines Teilchens auf dem Zustandsraum gedeutet werden. Das Teilchen startet im Zustand , und bei jedem Signal springt es vom Zustand in den nächsten Zustand . Dabei soll in einem kleinen Zeitintervall für die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand in den Zustand gelten:
(16.120)

Die Größe heißt hier Übergangsrate.

Beispiele für Poisson-Prozesse
Beispiel A

Der radioaktive Zerfall ist ein typisches Beispiel für den POISSON-Prozeß: Mit einem Zählgerät werden die Zerfallsakte (Signale) registriert und über einer Zeitachse abgetragen. Der Beobachtungszeitraum sei dabei vernachlässigbar klein im Vergleich zur Halbwertszeit des radioaktiven Strahlers.

Beispiel B

Für die Anzahl der in einer Telefonzentrale bis zum Zeitpunkt registrierten Telefongespräche läßt sich z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, daß bis zur Zeit höchstens Gespräche vermittelt werden, wenn pro Zeiteinheit durchschnittlich Gespräche geführt werden.

Beispiel C

Bei Zuverlässigkeitsuntersuchungen wird die wahrscheinliche Anzahl der Ausfälle eines reparierbaren Systems während der Betriebsdauer berechnet.

Beispiel D

In der Bedienungstheorie wird die Anzahl der bis zur Zeit eintreffenden Kunden an einer Kaufhauskasse, einem Fahrkartenschalter oder einer Tankstelle betrachtet.