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Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene

Eine Funktion
(14.31a)

gilt als definiert, wenn die zwei Funktionen und reeller Veränderlicher definiert und bekannt sind. Die Funktion braucht nicht analytisch zu sein, wie das bei der konformen Abbildung gefordert wird. Die Funktion definiert eine neue komplexe Zahlenebene. Man sagt, sie bildet die -Ebene in die -Ebene ab, d.h., jeder Punkt wird in einem ihm entsprechenden Punkt abgebildet.
a) Transformation der Koordinatenlinien: Koordinatenlinien transformieren sich gemäß:
 
(14.31b)


b) Transformation geometrischer Gebilde: Geometrische Gebilde wie Kurven oder Gebiete der -Ebene transformieren sich zu Kurven oder Gebieten der -Ebene, also zu gleichartigen geometrischen Gebilden:
(14.31c)

Mit ist der Parameter bezeichnet.

Beispiel

Für gehen die Geraden über in , also in die Geraden . Die Geraden gehen über in die Geraden (s. Abbildung).



Die schraffierte Fläche in der linken Abbildung wird auf die schraffierte Fläche in der rechten Abbildung abgebildet.


c) Riemannsche Fläche: Ist die Funktion mehrdeutig, wie z.B. die Funktionen , so erfolgt die Abbildung auf eine entsprechende Anzahl übereinander liegender Ebenen. Jedem Funktionswert der -Ebene entspricht ein Punkt auf einer dieser Ebenen. Die Ebenen sind durch Kurven miteinander verbunden; ihre Gesamtheit wird mehrblättrige RIEMANNsche Fläche genannt (s. Lit. 14.16).
Beispiel

: Überstreicht der Radiusvektor die volle -Ebene, d.h. , dann überstreicht der zugehörige Radiusvektor , d.h. , nur die obere -Halbebene. Erst bei einem zweiten Durchlauf der -Ebene wird die volle -Ebene durchlaufen. Diese Zweideutigkeit von bezüglich wird dadurch behoben, daß man zwei -Ebenen übereinanderlegt und längs der aufgeschnittenen negativen reellen Achse gemäß der folgenden Abbildung miteinander verbindet.



Die so entstehende Fläche heißt RIEMANNsche Fläche der Funktion . Der Nullpunkt heißt Verzweigungspunkt. Der Wertevorrat von liegt in entsprechender Weise auf der zweiblättrigen RIEMANNschen Fläche ausgebreitet.