Begriff des komplexen Potentials
Es wird ein Feld 
in der 
-Ebene mit den stetigen und
differenzierbaren Komponenten 
und 
des Vektors 
für den
quellenfreien und den wirbelfreien Fall betrachtet.
a) Quellenfreies Feld mit div
,
d.h. 
.
Das ist die Integrabilitätsbedingung für die Differentialgleichung der
Feld - oder Stromfunktion 
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(14.20a) |
und es gilt:
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(14.20b) |
Für zwei Punkte 
des Feldes
ist die Differenz
ein Maß für den Vektorfluß durch eine
Kurve, die die Punkte 
und 
verbindet, falls diese Kurve ganz im Feld
verläuft.
b) Wirbelfreies Feld mit
,
d.h. 
:
Das ist die Integrabiltätsbedingung für die Differentialgleichung mit der
Potentialfunktion 
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(14.21a) |
und es gilt
 |
(14.21b) |
Die Funktionen 
und 
genügen den
CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen, und jede für sich
erfüllt die LAPLACEsche Differentialgleichung
(
).
Man faßt
und
zu der analytischen Funktion
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(14.22) |
zusammen und bezeichnet diese Funktion als komplexes Potential des Feldes
.
Danach ist 
das Potential des Vektorfeldes
im Sinne der in
der Physik und Elektrotechnik üblichen Bezeichnungsweise.
Die Linien
und
bilden ein orthogonales Netz.
Für die Ableitung des komplexen Potentials und den Feldvektor
gelten die
Beziehungen:
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(14.23) |
