Von WEIERSTRASS sind die Funktionen
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(14.114a) |
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(14.114b) |
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(14.114c) |
eingeführt worden, wobei 
und 
zwei beliebige komplexe Zahlen
darstellen, deren Quotient nicht reell ist.
Man setzt
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(14.115a) |
wobei 
und 
beliebige ganze Zahlen sind, und definiert
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(14.115b) |
Dabei deutet der Strich am Summenzeichen an, daß das Wertepaar 
ausgenommen
ist.
Die Funktion 
hat folgende Eigenschaften:
1. Sie ist eine elliptische Funktion mit den Perioden
und 
.
2. Die Reihe (14.115b) konvergiert für alle 
.
3. Die Funktion
genügt der Differentialgleichung
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(14.116a) |
mit
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(14.116b) |
Die Größen 
und 
werden als Invarianten von
bezeichnet.
4. Die Funktion 
ist die Umkehrfunktion zu dem Integral
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(14.117) |
5.
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(14.118) |
Die WEIERSTRASSschen Funktionen
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(14.119a) |
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(14.119b) |
sind nicht doppelperiodisch, also keine elliptischen Funktionen.
Es gelten folgende Beziehungen:
1.
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(14.120) |
2.
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(14.121) |
3.
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(14.122) |
4.
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(14.123) |
5. Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion der
WEIERSTRASSschen Funktionen 
und 
.
