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Integralsätze von Green

Die GREENschen Integralsätze liefern Zusammenhänge zwischen jeweils einem Raum- und einem Flächenintegral. Sie ergeben sich aus der Anwendung des GAUSSschen Satzes auf die Funktion , wobei und skalare Feldfunktionen sind und das von der Fläche eingeschlossene Volumen.
(13.121)

(13.122)

Speziell für gilt:

(13.123)

In kartesischen Koordinaten hat der 3.  GREENsche Satz die folgende Form:

(13.124)

Beispiel A

Berechnung des Linienintegrals: mit als Schnittkurve zwischen dem Zylinder und der Ebene . Nach dem Satz von STOKES erhält man:

mit und der Kreisfläche

Beispiel B

Gesucht ist der Fluß im Strömungsfeld durch die Oberfläche der Kugel . Der Satz von GAUSS liefert:
.

Beispiel C

Wärmeleitungsgleichung: Die zeitliche Änderung des Wärmeinhaltes eines Raumteiles , der keine Wärmequellen enthalten soll, ergibt sich zu:
( spezifische Wärmekapazität, Dichte, Temperatur), während die damit verbundene zeitliche Änderung des Wärmeflusses durch die Oberfläche von durch ( Wärmeleitzahl) angegeben wird. Anwendung des Satzes von GAUSS auf das Oberflächenintegral ergibt aus die Wärmeleitungsgleichung , die im Falle eines homogenen Körpers ( Konstanten) die Gestalt hat.