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der reellen Zahlen sind die Begriffe 
-Beschränktheit und
Beschränktheit (im herkömmlichen Sinne) identisch.
Es ist bekannt, daß jede von oben beschränkte Menge reeller Zahlen in
ihr
Supremum - die kleinste aller oberen Schranken - besitzt.
In einem allgemeinen Vektorraum kann die Existenz von Supremum und Infimum i.allg. nicht
einmal für endliche Teilmengen nachgewiesen, sondern muß per Axiom gefordert
werden.
Ein geordneter Vektorraum 
heißt Vektorverband oder
linearer Verband (in der englischsprachigen Literatur auch
RIESZscher Raum bzw. und in der russischsprachigen Literatur auch
K-Lineal ), wenn für zwei beliebige Elemente
ein Element 
mit den folgenden Eigenschaften existiert:
mit 
und 
dann gilt 
.
ist eindeutig bestimmt, wird mit 
bezeichnet und das
Supremum von 
und 
(genauer: Supremum der aus den Elementen
und
bestehenden Menge) genannt.
In einem Vektorverband existiert zu je zwei Elementen
und
auch stets das Infimum,
das mit 
bezeichnet wird.
Zu Anwendungen positiver Operatoren in Vektorverbänden s.u.a. Lit. 12.3.
| Beispiel A | |
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Im Vektorverband | |
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(12.33) |
und 
(s. Abbildung)
ergibt sich für
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(12.34) |
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(12.35) |
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wird das Supremum von zwei Funktionen 
punktweise
nach der Formel
und 
sind ebenfalls Vektorverbände,
während der geordnete Raum 
kein Vektorverband ist, da das
Minimum oder Maximum zweier Funktionen im allgemeinen eine Funktion sein kann, die nicht
in jedem Punkt aus 
differenzierbar zu sein braucht.
des Vektorverbandes
in einen Vektorverband 
heißt Vektorverbandshomomorphismus oder
Homomorphismus der Vektorverbände, wenn für alle 
gilt: