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bezeichnet
die Menge aller in 
beliebig oft differenzierbaren
Funktionen 
mit kompaktem Träger, d.h. die Menge
und liegt in 
,
während mit 
die
Menge aller bezüglich des LEBESGUE-Maßes im
lokalsummierbaren Funktionen, d.h. aller (Klassen von äquivalenten) auf
meßbaren Funktionen 
mit
für jedes beschränkte Gebiet
,
bezeichnet wird.
Die beiden Mengen sind (mit den natürlichen algebraischen Operationen) Vektorräume.
Es gilt 
für 
und
für beschränktes
auch 
.
Faßt man die Elemente aus 
als die von ihnen in
erzeugten Klassen auf, so gilt bei beschränktem
die Inklusion
,
wobei
sogar dicht liegt.
Ist
unbeschränkt, so liegt (in diesem Sinn) die Menge
dicht in .
Die Formel der partiellen Integration hat für eine vorgegebene feste Funktion
und eine beliebige Funktion
wegen
die Gestalt
mit 
,
die man als Ausgangspunkt für den
Begriff der verallgemeinerten Ableitung einer Funktion 
nehmen
kann.
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