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ein Vektorraum über 
und 
eine Halbnorm auf 
.
Seien 
ein linearer (komplexer, falls 
und reeller, falls 
)
Teilraum
von
und 
ein lineares (komplexwertiges, falls
und reellwertiges, falls
)
Funktional auf 
,
welches der Bedingung
auf
mit folgenden Eigenschaften:
ist die Fortsetzung des Funktionals
auf den gesamten Raum
unter
Beibehaltung der Abschätzung (12.167).
Wenn
ein linearer Teilraum eines normierten Raumes
ist und
ein
stetiges lineares Funktional auf ,
dann ist 
eine
Halbnorm auf
mit (12.167), so daß sich sofort die
Variante des Satzes von HAHN-BANACH über die Fortsetzung stetiger
linearer Funktionale ergibt.
Zwei wichtige Konsequenzen aus letzterem sind die ,,Reichhaltigkeit`` des dualen
zu einem normierten Raum:
Für jedes Element 
gibt es ein Funktional 
mit
und 
sowie den folgenden Sachverhalt:
Für jeden linearen Teilraum 
und 
,
mit dem
Abstand 
,
gibt es ein
mit
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