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Halbnorm

Eine Abbildung eines Vektorraumes heißt Halbnorm, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
(12.164)

(12.165)

(12.166)

Ein Vergleich mit den Axiomen des normierten Raumes zeigt, daß eine Halbnorm genau dann eine Norm ist, wenn nur für gilt.

Sowohl für theoretische innermathematische Fragestellungen als auch für praktische Belange in vielen Anwendungen der Mathematik hat sich das Problem der Erweiterung eines auf einem linearen Teilraum gegebenen linearen Funktionals auf den gesamten Raum - um triviale und uninteressante Fälle auszuschließen - unter Beibehaltung gewisser ,,guter`` Eigenschaften als eines der fundamentalsten Ergebnisse herauskristallisiert.
Die Lösung dieses Problems wird durch den Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH garantiert.