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Nyström-Verfahren

Beim sogenannten NYSTRÖM-Verfahren verwendet man zur Approximation des Integrals die GAUSSschen Quadraturformeln. Zu deren Herleitung betrachte man das Integral
(11.27a)

Man ersetzt den Integranden durch ein Polynom vom Grade , welches die Funktion in den Stützstellen interpoliert:
 
(11.27b)

Für das so definierte Polynom gilt:
(11.27c)

Die Ersetzung des Integranden durch liefert die Quadraturformel
(11.27d)

mit
(11.27e)

gemäß (11.24). Für die GAUSSschen Quadraturformeln ist die Wahl der Stützstellen nicht willkürlich, sondern erfolgt nach der Vorschrift:
(11.28a)

Die Zahlen sind die Nullstellen des LEGENDREschen Polynoms 1. Art
(11.28b)

Diese Nullstellen liegen alle im Intervall . Die Koeffizienten können durch die Substitution ermittelt werden:
 
  (11.29)

In der folgenden Tabelle sind für die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome sowie die Gewichte angegeben.

Tabelle Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art

Beispiel

Die Integralgleichung ist näherungsweise nach dem NYSTRÖM-Verfahren für den Fall zu lösen.

Das Gleichungssystem (11.25c) zur Ermittlung von und lautet:


Lösung des Systems: . Die Werte der exakten Lösung in den Stützstellen sind: .