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Partialbruchzerlegung

Jede echt gebrochenrationale Funktion
(1.46)

mit teilerfremdem Zähler- und Nennerpolynom ist eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen der Form

(1.47)

mit reellen Zahlen und zerlegbar. Dazu geht man wie folgt vor:
1. Der Koeffizient des Nennerpolynoms wird auf den Wert gebracht, indem Nenner und Zähler von (1.46) durch den ursprünglichen Wert von dividiert werden.
2. Für das Nennerpolynom wird gemäß (1.169) die Nullstellendarstellung ermittelt:
 
    (1.48)

Dabei sind die reellen Wurzeln von . Außerdem hat Paare konjugiert komplexer Nullstellen, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren erhält. Die Zahlen sind reell, und es gilt: .


3. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:

 
   
     
     
    (1.49)


4. Zur Bestimmung der Konstanten multipliziert man den Ansatz (1.49) mit und vergleicht den sich dabei ergebenden Zähler mit . Dabei ist . Man ordnet nach Potenzen von und setzt die Koeffizienten gleicher Potenzen von und gleich ( Koeffizientenvergleich , auch Methode der unbestimmten Koeffizienten ).

Beispiel A


Gleichsetzen der Koeffizienten vor gleichen Potenzen von im Zähler der linken und der rechten Seite der Gleichung führt auf das Gleichungssystem , , , dessen Lösung die Werte ergibt.

Beispiel B


Die Koeffizienten werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.

Beispiel C


Die Koeffizienten werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.

Hinweis: Hat das Nennerpolynom nur einfache Wurzeln , dann hat der Ansatz (1.49) die Form

(1.50)

und die Koeffizienten können wie folgt bestimmt werden:
(1.51)

In den Nennern von (1.51) stehen die Werte der Ableitungen für .
Beispiel D

und
und

Es ergibt sich die gleiche Lösung wie in Beispiel A.