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Lösung in Parameterform

Gegeben sei eine Differentialgleichung in der impliziten Form
(9.14)

Ein Verfahren, zu einer Auflösung nach zu kommen, geht von dem Satz aus, daß durch einen Punkt genau Integralkurven verlaufen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) In dem Punkt besitze die Gleichung mit insgesamt reelle Wurzeln .
b) Die Funktion und ihre ersten Ableitungen seien für stetig, und es gelte .
Wenn sich eine gegebene Gleichung nach auflösen läßt, dann zerfällt sie in Gleichungen von der eben beschriebenen Form, nach deren Lösung man Integralkurvenscharen erhält. Sollte sich eine Gleichung in der Form oder darstellen lassen, dann erhält man, indem gesetzt und als Hilfsveränderliche verstanden wird, durch Differentiation nach bzw. eine Gleichung in bzw. , die nach der Ableitung aufgelöst ist. Ihre Lösung zusammen mit der Ausgangsgleichung (9.14) ergibt dann die Lösung in Parameterform.

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung zu lösen. Man setzt und erhält . Differentiation nach und Setzen von
liefert oder .
Die Auflösung dieser in linearen Gleichung ergibt . Einsetzen in die Ausgangsgleichung für ergibt die Lösung in Parameterform.