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lautet
und 
eindeutig bestimmt, und ist in der Abbildung ist 
dargestellt.
Ein typisch nichtlinearer Effekt besteht darin, daß die Solitongeschwindigkeit 
die Amplitude und die Breite des Solitons bestimmt: KdV-Solitonen mit größerer
Amplitude und geringerer Breite bewegen sich schneller als solche mit kleinerer Amplitude
und größerer Breite.
Die Solitonphase
beschreibt die Lage des Maximums des Solitons zur Zeit
Die Gleichung (9.134) besitzt auch 
-Solitonenlösungen.
Eine solche -Solitonenlösung läßt sich für 
asymptotisch durch lineare Überlagerung von Ein-Solitonlösungen darstellen:
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(9.136) |
Dabei ist jede Evolutionsfunktion 
durch eine Geschwindigkeit 
und eine
Phase 
gekennzeichnet.
Die Anfangsphasen 
vor der Wechselwirkung oder dem Stoßprozeß
unterscheiden sich von den Endphasen nach dem Stoß 
,
während die
Geschwindigkeiten 
keine Änderung erfahren, d.h., es handelt
sich um eine elastische Wechselwirkung.
Für 
besitzt (9.134) eine 2-Solitonenlösung.
Sie läßt sich für endliche Zeiten nicht durch lineare Überlagerung darstellen
und lautet mit 
und
:
nicht wechselwirkende Solitonen mit den Geschwindigkeiten
und 
,
die nach einem Wechselwirkungsprozeß für
wieder asymptotisch in zwei nichtwechselwirkende Solitonen mit
denselben Geschwindigkeiten übergehen.
Die nichtlineare Evolutionsgleichung
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(9.138b) |
eine Solitonlösung und
b) für
ergibt sich aus (9.138a) die KdV-Gleichung
(9.134).
Die Gleichung (9.137) und der sich mit (9.138c)
ergebende Ausdruck für 
sind Beispiele für eine nichtlineare Superposition.
durch 
so muß
die rechte Seite von (9.135) mit 
multiplizieren werden.
Man spricht dann auch von einem Antisoliton .
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