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Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion

Die Formel (7.106a) kann als Grenzfall der Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion in eine trigonometrische Reihe im Intervall für aufgefaßt werden.
Mit Hilfe der FOURIERschen Reihenentwicklung wird eine periodische Funktion mit der Periode als Summe harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen mit und den Amplituden dargestellt. Diese Darstellung beruht somit auf einem diskreten Frequenzspektrum .
Im Unterschied dazu wird mit Hilfe des FOURIER-Integrals die nichtperiodische Funktion als Summe unendlich vieler harmonischer Schwingungen mit stetig variierender Frequenz dargestellt. Das FOURIER-Integral liefert somit eine Entwicklung der Funktion in ein kontinuierliches Frequenzspektrum . Hierbei entspricht der Frequenz die Dichte des Spekrums:
(7.106c)

Das FOURIER-Integral ist von einfacherer Form, wenn die Funktion entweder a) eine gerade oder b) eine ungerade Funktion ist:

(7.107a)

(7.107b)

Beispiel

Für die gerade Funktion ergeben sich die Dichte des Frequenzspektrums und die Darstellung der Funktion zu

(7.108a)

und

(7.108b)