Eigenschaften von Zahlenfolgen

Eigenschaften von Zahlenfolgen

1. Definition der Zahlenfolge:Ist eine unendliche Menge von Zahlen

(7.1)

in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet, dann spricht man von einer unendlichen Zahlenfolge . Die Zahlen der Zahlenfolge werden Glieder der Zahlenfolge genannt. Unter den Gliedern einer Zahlenfolge können auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge gilt als gegeben, wenn das Bildungsgesetz der Zahlenfolge , d.h. eine Regel, bekannt ist, nach der jedes beliebige Glied der Zahlenfolge bestimmt werden kann. Häufig läßt sich eine Formel für das allgemeine Glied

angeben.

Beispiele für Zahlenfolgen:

Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D

Beispiel E

Beispiel F

Ungerades : .
Gerades : .
Ergebnis: .

Beispiel G

Beispiel H

Beispiel I

für ungerades und für gerades :
.

Beispiel J

für ungerades und für gerades :
.

2. Monotone Zahlenfolgen: Man nennt eine Folge monoton wachsend , wenn gilt

(7.2)

und monoton fallend , wenn gilt

(7.3)

Man spricht von einer streng monoton wachsenden Folge bzw. streng monoton fallenden Folge , wenn in (7.2) bzw. (7.3) die Gleichheitszeichen nicht zugelassen sind.

Beispiel A

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in A, B, E streng monoton wachsend.

Beispiel B

Die Folge in Beispiel G ist streng monoton fallend.

3. Beschränkte Folgen: Eine Folge heißt beschränkt , wenn für alle ihre Glieder gilt

(7.4)

wobei

ist. Existiert eine solche Zahl

( Schranke ) nicht, dann spricht man von einer unbeschränkten Folge .

Beispiel

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in C mit , in D mit , in E mit , in F mit , in G mit und in J mit beschränkt.

Beispiel A
	Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in A, B, E streng monoton wachsend.

Beispiel B
	Die Folge in Beispiel G ist streng monoton fallend.

Beispiel
	Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in C mit , in D mit , in E mit , in F mit , in G mit und in J mit beschränkt.