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Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen

Wenn das Extremum einer Funktion mit Veränderlichen bestimmt werden soll, die voneinander abhängig und durch die Nebenbedingungen
(6.73a)

miteinander verknüpft sind, wobei die Anzahl dieser Verknüpfungen sein muß, dann führt man gemäß der Multiplikatorenmethode von LAGRANGE unbestimmte Multiplikatoren ein und betrachtet die folgenden LAGRANGE-Funktionen der Veränderlichen :
   
    (6.73b)

Die notwendige Bedingung für ein Extremum der Funktion ist ein System von Gleichungen (6.72) mit den Unbekannten in der Form
(6.73c)

Als notwendige Bedingung dafür, daß die Funktion im Punkte ein Extremum besitzen kann, muß das Wertesystem diese Gleichungen erfüllen.

Beispiel

Die Extremwerte der Funktion mit der Nebenbedingung werden aus den drei Gleichungen

(6.74)

mit den drei Unbekannten bestimmt.