Funktion von einer Veränderlichen

Funktion von einer Veränderlichen

Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängige Variable, die Funktion und deren Ableitungen enthält:

(6.59a)

(6.59b)

Die Ableitungen können dann bei der Substitution der Variablen auf die folgende Weise berechnet werden:
Fall 1a: Die Variable

wird durch die Variable

ersetzt, die mit

gemäß

(6.60a)

verknüpft ist. Dann gilt

(6.60b)

(6.60c)

Fall 1b: Wenn die Verknüpfung beider Variabler nicht in expliziter, sondern in der impliziten Form

(6.61)

gegeben ist, werden die Ableitungen

mit denselben Formeln berechnet, aber die Ableitungen

sind nach den Regeln für implizite Funktionen zu berechnen. In diesem Falle kann es vorkommen, daß der Zusammenhang (6.59b) die Variable

enthält. Zur Eliminierung wird dann die Verknüpfung (6.61) benutzt.
Fall 2: Die Funktion

wird durch eine Funktion

ersetzt, die mit

gemäß

(6.62a)

verknüpft ist. Die Berechnung der Ableitungen kann dann mit den folgenden Formeln erfolgen:

(6.62b)

(6.62c)

Fall 3: Die Variablen

und

werden durch die neuen Veränderlichen

und

ersetzt, die mittels der Formeln

(6.63a)

verknüpft sind. Zur Berechnung der Ableitungen können die folgenden Formeln verwendet werden:

(6.63b)

			(6.63c)
			(6.63d)

mit

(6.63e)

(6.63f)

Die Berechnung der dritten Ableitung

geschieht in analoger Weise.

Beispiel

Für die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten gemäß

(6.64a)

berechnen sich die erste und zweite Ableitung wie folgt:

(6.64b)

(6.64c)