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einer kontinuierlichen Gruppe 
können eindeutig und
vollständig durch einen Satz reeller Parameter
charakterisiert werden, von denen mindestens
einer bei Durchlaufen der Gruppe kontinuierlich variiert.
Die Anzahl 
der Parameter wird als Ordnung oder Dimension
der kontinuierlichen Gruppe bezeichnet.
Eine kontinuierliche Gruppe ist eine unendliche Gruppe .
entspricht einem Punkt
im -dimensionalen Parameterraum 
.
Durch die Festlegung, daß dem neutralen Element 
der Gruppe
im
Parameterraum das -Tupel 
entspricht,
,
wird in 
ein Koordinatensystem
eingeführt.
Jeder Umgebung 
eines Punktes 
im Parameterraum
entspricht einer
Umgebung 
in der Gruppe 
.
Sind
und
die Parameter des
Gruppenelements
bzw. des inversen Elements 
,
dann gilt für die
Gruppenmultiplikation 
:
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(5.131) |
| Beispiel | |
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Die zweidimensionalen Drehungen um einen festen Punkt in einer Ebene
bilden eine kontinuierliche Gruppe der Dimension 1.
Die Gruppenelemente | |
Die Einführung des Drehwinkels 
ist nicht die einzige Möglichkeit, die
Gruppenlemente zu parametrisieren.
Jede beliebige monotone Funktion 
könnte ebenfalls zur Charakterisierung
der Gruppenelemente herangezogen werden.
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werden durch den Drehwinkel
bestimmt, 
.
Das neutrale Element der Gruppe ist 
.
Das inverse Element 
bedeutet eine Drehung um den gleichen
Winkel in entgegengesetzter Richtung:
.
Die Gruppe ist eine ABELsche Gruppe:
.