Teilmengen

Teilmengen

1. Teilmenge: Sind

und

Mengen und gilt

(5.36)

dann heißt

Teilmenge von

, und man schreibt:

Mit anderen Worten:

ist Teilmenge von

wenn alle Elemente von

auch zu

gehören. Damit gilt auch stets

.
Gibt es für

weitere Elemente, die nicht in

vorkommen, so heißt

echte Teilmenge von

, und man schreibt

Die folgende Abbildung zeigt

als echte Teilmenge der Menge

Beispiel

Es seien eine Menge gerader Zahlen und eine Menge natürlicher Zahlen. Da die Menge die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist eine echte Teilmenge von

2. Leere Menge: Es erweist sich als sinnvoll, die leere Menge die kein Element enthält, einzuführen. Wegen des Extensionalitätsprinzips gibt es nur eine solche Menge.

Beispiel A

Die Menge ist leer.

Beispiel B

Für jede Menge gilt d.h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

3. Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:

(5.37)

Diese Tatsache wird häufig zum Beweis der Gleichheit zweier Mengen benutzt.

4. Potenzmenge: Die Menge aller Teilmengen

einer Menge

nennt man Potenzmenge von

und bezeichnet sie mit

, d.h.

Beispiel

Für die Menge lautet die Potenzmenge
.
Es gilt:
a) Hat eine Menge Elemente, so hat ihre Potenzmenge Elemente.
b) Für jede Menge gilt , d.h. die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge .

5. Kardinalzahl: Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge heißt Kardinalzahl von und wird mit oder manchmal auch bezeichnet.
Auch unendlichen Mengen werden Kardinalzahlen zugeordnet.

Beispiel
	Es seien eine Menge gerader Zahlen und eine Menge natürlicher Zahlen. Da die Menge die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist eine echte Teilmenge von

Beispiel B
	Für jede Menge gilt d.h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

Beispiel
	Für die Menge lautet die Potenzmenge . Es gilt: a) Hat eine Menge Elemente, so hat ihre Potenzmenge Elemente. b) Für jede Menge gilt , d.h. die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge .