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Elementbeziehung


1. Mengen und ihre Elemente: Der grundlegende Begriff der Mengenlehre ist die Elementbeziehung. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Für ,, ist Element von `` bzw. ,, ist nicht Element von `` schreibt man ,,`` bzw. ,,``. Mengen können beschrieben werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern, z.B. oder oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge zukommt. Z.B. wird die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen durch beschrieben, wobei die Eigenschaft bedeutet: ist eine ungerade natürliche Zahl, d.h. ist eine ungerade natürliche Zahl}.
Für die Zahlenbereiche sind folgende Bezeichnungen üblich:

Menge der natürlichen Zahlen,
Menge der ganzen Zahlen,
Menge der rationalen Zahlen,
  Menge der reellen Zahlen,
  Menge der komplexen Zahlen.

2. Extensionalitätsprinzip für Mengen: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten, d.h.

(5.35)

Beispiel

Die Mengen und sind gleich.