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Termalgebren, freie Algebren


1. Termalgebren: Es sei eine Signatur und eine abzählbare Menge von Variablen. Die Menge der -Terme über ist induktiv wie folgt definiert:
1.
(5.295)


2.

(5.296)


Die so definierte Menge wird Trägermenge einer -Algebra, der Termalgebra vom Typ über gemäß folgender Operationen: Ist und so ist durch

(5.297)

erklärt.
2. Freie Algebren: Termalgebren sind die ,,allgemeinsten`` Algebren in der Klasse aller -Algebren, d.h., in Termalgebren gelten keine ,,Gleichungen``. Solche Algebren werden freie Algebren genannt.
Eine Gleichung ist ein Paar von -Termen in den Variablen Eine -Algebra erfüllt eine solche Gleichung, wenn für alle gilt:

(5.298)

Eine gleichungsdefinierte Klasse von -Algebren ist eine Klasse von -Algebren, die eine vorgegebene Menge von Gleichungen erfüllen.
Satz von BIRKHOFF: Die gleichungsdefinierten Klassen sind genau die Varietäten.

Beispiel

Varietäten sind zum Beispiel die Klasse aller Halbgruppen, die Klasse aller Gruppen, die Klasse aller ABELschen Gruppen und die Klasse aller Ringe. Andererseits gilt zum Beispiel, daß das direkte Produkt von zyklischen Gruppen keine zyklische Gruppe und das direkte Produkt von Körpern kein Körper ist. Deshalb bilden die zyklischen Gruppen bzw. Körper keine Varietäten und können nicht durch Gleichungen definiert werden.