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Summe und Produkt zweier linearer Operatoren

Sind und sowie lineare Abbildungen, so definiert man die Summe zweier linearer Operatoren
(5.230)

und das Produkt zweier linearer Operatoren

(5.231)

Hinweise:
1. Mit und sind auch und wieder lineare Abbildungen.
2. Das Produkt (5.231) stellt die Hintereinanderausführung der beiden linearen Abbildungen und dar.
3. Das Produkt zweier linearer Operatoren ist im allgemeinen nicht kommutativ, d.h., im allgemeinenen gilt:
(5.232a)

Im Gegensatz dazu liegt Vertauschbarkeit vor, wenn gilt:
(5.232b)

Der Ausdruck wird in der Quantenmechanik als Kommutator bezeichnet. Im Falle von (5.232a) sind die Operatoren und nicht vertauschbar, d.h., es ist unbedingt auf ihre Reihenfolge zu achten.

Beispiel

Als Beispiel für Summe und Produkt zweier linearer Operatoren können Summe und Produkt zweier entsprechender Matrizen angesehen werden.