Unterräume, Dimensionsformel
1. Unterraum:
Es sei 
ein Vektorraum und 
eine Teilmenge von 
Bildet
bezüglich der Operationen aus
einen Vektorraum, so heißt
ein
Unterraum von
Eine nichtleere Teilmenge
von
ist genau dann Unterraum, wenn für alle
und alle 
auch 
und 
in
liegen
( Unterraumkriterium ).
2. Kern, Bild: Es seien 
-Vektorräume.
Ist 
eine lineare Abbildung, so sind die Unterräume
Kern (Bezeichnung: ker 
)
und Bild (Bezeichnung: im )
wie
folgt definiert:
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(5.217) |
So ist zum Beispiel die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems
der Kern der durch die Koeffizientenmatrix 
vermittelten linearen Abbildung.
3. Dimension: Die Dimension 
bzw. 
im
werden
Defekt
bzw. Rang
genannt.
Zwischen diesen Dimensionen besteht der Zusammenhang
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(5.218) |
der Dimensionsformel genannt wird.
Ist speziell Defekt 
d.h. 
dann ist die lineare Abbildung
injektiv und umgekehrt.
Injektive lineare Abbildungen werden regulär genannt.
