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Krümmung einer Fläche

Zur numerischen Charakterisierung der Krümmung einer Fläche werden hauptsächlich zwei Größen benutzt:
1. Mittlere Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.533a)


2. Gaußsche Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.533b)

Beispiel A

Für den Kreiszylinder mit dem Radius ist und

Beispiel B

Für elliptische Punkte ist für hyperbolische und für parabolische


3. Berechnung von und , wenn die Fläche explizit gemäß vorgegeben ist:

(3.534a)

(3.534b)

Die Bedeutung von entspricht (3.530b):


4. Klassifizierung der Flächen nach ihrer Krümmung
a) Minimalflächen sind Flächen, deren mittlere Krümmung in allen Punkten Null ist, d.h. für die gilt.
b) Flächen konstanter Krümmung zeichnen sich durch konstante GAUSSsche Krümmung aus.

Beispiel A

z.B. die Kugel.

Beispiel B

z.B. die Pseudosphäre (obere Abbildung), d.h. die Rotationsfläche der Traktrix (untere Abbildung) bei Rotation um die Symmetrieachse.